Traducción de Lenguaje Verbal a Lenguaje Algebraico

Para poder resolver cualquier tipo de problema, debemos saber interpretar los datos que se nos presentan en el enunciado y transformarlos en expresiones matemáticas, para de esta forma encontrar una solución a dicha situación.

En esta ocasión te presentamos una serie de videos que nos muestran como convertir un problema en una serie de expresiones matemáticas que nos serviran para resolver dicho problema.

Traducción de Lenguaje Verbal a Lenguaje Algebraico

Traducción de Lenguaje Algrabraico a Lenguaje Verbal

Traducción e Interpretación de un Problema

Leyes de los Exponentes

Para poder realizar las operaciones básicas del Álgebra, necesitamos conocer como trabajar con los exponentes, para eso estudiaremos los siguientes dos videos, en los cuales se muestran las leyes de los exponentes y algunos ejercicios sobre operaciones con exponentes.

Video 1. Leyes de los Exponentes

Video 2. Ejercicios

Conceptos Importantes sobre Polinomios

Antes de poder iniciarte en el estudio de las operaciones algebraicas, es necesario que conozcas algunos términos importantes relacionados con el Álgebra como son los siguientes:

• Coeficiente
• Variables
• Grado
• Expresión algebraicas, entre otros.

En el siguiente video se explican estos y otros conceptos importantes del álgebra.

Reducción de Términos Semejantes

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:
6a²b³ es término semejante con -2a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³).

La reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

• Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

3a + 2a = 5a
-7x - 9x = -16x

• Reducción de dos términos semejantes de distinto signo: se restan los coeficientes poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor número y a continuación se escribe la parte literal.

-10a + 7a = -3a
18x - 11x = 7x

• Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos: se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

5a - 8a + a - 6a + 21a

Asociamos por un lado los términos positivos y por el otro los términos negativos:

5a + a + 21a = 27a

-8a - 6a = -14a

Aplicamos la regla del segundo caso:

27a - 14a = 13a

Y así obtenemos que la respuesta para la expresión algebraica anterior es 13a.

Estos casos son aplicables en la reducción de polinomios que contienen términos semejantes de diversas clases:

7a - 9b + 6a - 4b

Asociamos los que tienen literal a y los que tienen literal b, sumamos o restamos y obtenemos el resultado:

7a + 6a = a

-9b - 4b = -13b

7a - 9b + 6a - 4b = a - 13b

Nótese que en ningún momento podemos sumar o restar los coeficientes de a y b porque sería como querer sumar peras con manzanas.

En los siguientes videos veremos ejemplos de reducción de términos semejantes.

Video 1

Video 2

Video 3

Video 4

Video 5

INTRODUCCION AL ALGEBRA

En esta nueva entrada, te mostraremos unos videos que nos hablan acerca de las nociones de términos algebraicos, términos semejantes. monomios y polinomios, todo esto comprendido dentro del Algebra.

Video 1. Definición de término

Video 2. Términos Semejantes

Video 3. Monomios y Polinomios

ORDEN DE OPERACIONES

Al realizar cálculos matemáticos, a veces tenemos que llevar a cabo varias operaciones matemáticas diferentes. Hay que tener cuidado al efectuar las operaciones, ya que hay que seguir un orden en particular para que nos dé a todos el mismo resultado.

Por ejemplo, si queremos calcular el resultado de -2 + 6 x 3 -2, si no contamos con algunas reglas los resultados pudieran ser variados como por ejemplo: 10, 14, 4. Para que esto no suceda entonces necesitamos aprender las Reglas para Orden de Operaciones.

El orden de operaciones consiste en las reglas que te dicen que es lo que vas a hacer primero al realizar el cálculo.

REGLAS PARA ORDEN DE OPERACIONES

Resolver paréntesis, u otros símbolos: ( ), [ ], { }

Resolver exponentes o raíces.

Multiplicación y división de izquierda a derecha.

Suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo:  2 + 7 * 8 / 2

Se resuelve en el siguiente orden:

Primero se efectua la multiplicación de 7 * 8, dicho resultado se divide entre 2 y por último este resultado se suma a 2:

2 + 7 * 8 / 2 = 2 + 56 / 2 = 2 + 28 = 30

Cuando hay un paréntesis ( ), corchete [ ] y llave { }, hay que resolver lo que está dentro de estos símbolos antes de efectuar alguna otra operación.

Ejemplo:  2[6 * (-1)] + 8 / 2

Primero se resuelve la operación que involucra paréntesis, es decir 6 * (-1), posterior a esto se realiza la operación que involucra los corchetes, 2[-6], enseguida se efectua la división de 8 / 2 y por último se suman los dos resultados dando lugar a la solución de -8:

2[6 * (-1)] + 8 / 2 = 2[-6] + 8 / 2 = -12 + 8 / 2 = -12 + 4 = -8

Cuando hay una combinación de paréntesis, corchetes y llaves, hay que resolver éstos de adentro hacia afuera.

Ejemplo: 2[6 - (9 / 3) + 8]

Como el paréntesis está dentro del corchete, hay que resolver éste para luego resolver el corchete.

2[6 - (9 / 3) + 8] = 2[6 - 3 +8] = 2[11] = 22

Ejemplo: 3{4 - [6 * 2(9 - 5) + 1]}

3{4 - [6 * 2(9 - 5) + 1]} =

3{4 - [6 * 2(4) + 1]} =

3{4 - [6 * 8 + 1]} =

3{4 - [48 + 1]} =

3{4 - [49]}

3{4 - 49} =

3{-45} = -135

MAXIMO COMUN DIVISOR

En la publicación anterior, tratamos el tema del mínimo común múltiplo de dos o más números. Ahora hablaremos acerca del máximo común divisor de dos o más números. Esto se te mostrará en el siguiente video.

MINIMO COMUN MULTIPLO

En este tema, te mostraremos dos videos que nos hablan acerca del mínimo común múltiplo de dos o más números.

VIDEO 1. INTRODUCCION

VIDEO 2. METODO PRACTICO

CONVERSION DE UNA FRACCION A DECIMAL Y VICEVERSA

En este tema te mostrare un video que nos habla acerca de la conversión de una fracción a un número decimal y viceversa.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Todos los números enteros se pueden dividir por otro número para descomponer a éste en un conjunto de factores, los cuales siempre van a ser números primos.

Por ejemplo:

16 = 2 x 2 x 2 x 2  (2 es un número primo)

42 = 2 x 3 x 7 (2, 3 y 7 son números primos)

Para poder descomponer un número entero en sus factores primos existen ciertos criterios de divisibilidad.

DIVISIBILIDAD POR 2

Todo número entero que termina en 0 (cero) o cifra par (2, 4, 6, 8) es divisible por 2. Ejemplo:

• 20 es divisible por 2, ya que 20/2 = 10
• 18 es divisible por 2, ya que termina en cifra par y 18/2=9

DIVISIBILIDAD POR 3

Todo número entero es divisible por 3 cuando la suma de todos sus dígitos es múltiplo 3. Ejemplo:

• 36 es divisible por 3, ya que 6 + 3 = 9, y 9 es múltiplo de 3: 36 / 3 = 12
• 48 también es divisible por 3, ya que 4 + 8 = 12, 12 es múltiplo de 3: 48 / 3 = 16

DIVISIBILIDAD POR 5

Todo número entero que termine en 0 (cero) ó 5 es divisible por 5. Ejemplo:

• 400 es divisible por 5, ya que termina en 0 (cero) 400/5=80
• 525 es divisible por 5, puesto que termina en 5: 525/5=105

DIVISIBILIDAD POR 7

Un número entero es divisible por 7 si y sólo sí la resta entre el valor absoluto del número que se obtiene al suprimir el dígito de las unidades de dicho número y el doble del dígito de las unidades es divisible por 7. Ejemplo:

• 182 es divisible por 7, ya que el dígito de las unidades es 2, y el doble es este dígito es 4: 18-4=14. Como 14 es divisible por 7 entonces 182 es divisible por 7: 182 / 7 = 16

DIVISIBILIDAD POR 11

Un número entero es divisible por sí la diferencia entre la suma de los dígitos que se encuentran en los lugares impares y la suma de los dígitos que se encuentran en los lugares pares es divisible por 11. Ejemplo:

• 8349 es divisible por 11 ya que (8 + 4) - (3 + 9) = 12 - 12 = 0, y como 0 / 11 = 0 entonces 0 es múltiplo de 11. Por lo tanto 8349 / 11 = 759
• -7293 es divisible por 11 debido a que (7 + 9) - (2 + 3) = 16 - 5 = 11, y 11 es múltiplo de 11. Por lo tanto, -7293 / 11 = -663

Nunca te confundas en querer descomponer un número comenzando a dividirlo por un número primo grandes, es decir, siempre debes ir comprobando a partir del primer número (2), sino se puede dividir por dicho número continua con el siguiente y así sucesivamente.

Estos criterios son muy importantes a considerar para cuando trabajes con fracciones.

FRACCIONES

En este tema mostraremos tres video que nos hablan acerca de los fracciones.

Video 1. Conceptos de Fracciones

Video 2. Simplificación de Fracciones

Video 3. Conversión de Fracciones

LEYES DE LOS SIGNOS

En las operaciones aritméticas básicas se siguen ciertas reglas en relación a los signos de los números.

Si se suman dos números positivos, el resultado será positivo. Por ejemplo: (+5) + (+3) = +8

Si se suman dos números negativos, el resultado será negativo. Por ejemplo: (-4) + (-11) = -15

Si se suman dos números con diferente signo, pueden suceder dos casos:

• Si el número positivo es mayor que el negativo. En este caso los números se restan y el resultado será positivo. Ejemplo: (+14) + (-8) = +6
• Si el número positivo es menor que el negativo. En este caso los números se restan y el resultado será negativo. Ejemplo: (+6) + (-20) = -14

Para la multiplicación y división, las reglas que se aplican son las siguientes:

LOS NUMEROS ENTEROS

Los números enteros son un conjunto de númeroes que incluye a los números naturales (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (-1, -2, -3, ...) y al cero. Los enteros negativos como -1 ó -3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo "+" delante de los positivos: +1, +5, etc.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra Z.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}

que proviene del alemán Zahlen ("números").

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:

      -783 y 154 son números enteros

      45.23 y -34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas; por ejemplo, si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer ingreso un cierto año, pero hay 100 alumnos de egreso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 - 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 -100 = -20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura, que toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como -423 metros.

NUMEROS PRIMOS

Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.

Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada Criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos).

Todo número natural admite una descomposición en producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los primos considerados. En la siguente imagen te muestro algunos ejemplos.

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hacho no hay ningún algotirmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema.

LOS NÚMEROS NATURALES

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar las cosas.

n = {1, 2, 3, 4, …}

Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los números naturales forman un semigrupo conmutativo (a + b = b + a).

Con la operación producto los números naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo (ab = ba).

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número x, es decir, el conjunto {x, x², x³,…} cuando x es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables.

El conjunto de los números naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos números naturales x e y, o bien x ≤ y, o bien y ≤ x.


Todo subconjunto A no vacío del conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento x Î A tal que para todo y de A se tiene x ≤ y.

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo al 2.